| И в библиотеке бывают рекламные паузы. |
Автор:Быстрицкий В.Д.
| Данная статья обязана своим появлением письму Вячеслава Андреева, в котором содержалось описания метода Кленшоу суммирования функциональных рядов, а так же давалась интерпретация этого метода для полиномов Чебышева. |
Теория ортогональных многочленов достаточно хорошо развита, получено большое количество систем ортогональных многочленов, некоторые из которых я попытаюсь представить в данной статье, но вначале остановимся более подробно на общих понятиях.
Ортогональными многочленами называется система многочленов {Pn(x)}, заданных на отрезке [a,b], (a и b могут равняться бесконечности) и удовлетворяющих условию:
Причем степень каждого многочлена равна его индексу n, а весовая функция h(x) не отрицательная на отрезке [a,b]. Если h(x) интегрируема по Лебегу, не эквивалентна нулю и в случае бесконечного интервала (a,b) имеет конечные степенные моменты:
то система ортогональных многочленов определяется однозначно.
Для нас важным будет следующие свойство ортонормированных многочленов:
Pn+1(x)=(anx+bn)Pn(x)-cnPn-1(x)именно за счет выполнения данного рекуррентного соотношения при суммирование рядов построенных по системам ортогональных многочленов применим метод Кленшоу.
Ортогональные многочлены используются как базисы функциональных пространств, так же как, например, в евклидовом пространстве используется базис из трех единичных попарно ортогональных векторов.
Всего вышесказанного нам будет достаточно, поэтому мы перейдем к рассмотрению конкретных систем, а тех кто хочет получить дополнительную информацию я отсылаю к соответствующей литературе.
Полиномы Чебышева I-го рода Tn(x) это многочлены ортогональные на отрезке [-1,1] с весовой функцией:
h1(x)=(1-x2)-1/2для стандартизированных полиномов Чебышева справедливы формулы:
Tn(x)=cos(n arccos x)и рекуррентное соотношение:
Tn+1(x)=2x Tn(x)-Tn-1(x)при этом T0(x)=1, T1(x)=x. Если функция f(x) непрерывна на [-1,1] и ее модуль непрерывности w(d,f) удовлетворяет условию Дини:
lim w(d,f) ln(1/d)=0, при d стремящемся к 0то эта функция раскладывается в равномерно сходящийся на отрезке [-1,1] ряд по системе полиномов Чебышева.
Полиномы Чебышева II-го рода Un(x) определяются как, ортогональные многочлены на отрезке [-1,1] с весовой функцией:
h2(x)=(1-x2)1/2или:
Un(x)=sin(n arccos x)Полиномы Чебышева II-го рода Un(x) так же удовлетворяют соотношению:
Un+1(x)=2x Un(x)-Un-1(x), U0(x)=1,U1(x)=(1-x2)1/2При этом многочлен Un имеет наименьшее интегральное отклонение на отрезке [-1,1] среди многочленов степени n с единичным старшим коэффициентом.
На странице посвященной ортогональным многочленам представлены алгоритмы вычисления значения полиномов Чебышева I-го и II-го рода в заданной точке x, а так же коэффициентов полиномов Чебышева I-го.
Полиномы Чебышева-Эрмита Hn(x) это многочлены ортогональные на действительной оси с весовой функцией:
h(x)=exp(-x2)Cтандартизированные полиномы Эрмита определяются формулами Родрига:
и удовлетворяют рекуррентному ссотношению
Hn+1(x)=2x Hn(x)-2nHn-1(x)при этом H0(x)=1,H1(x)=2x.
Полиномы Эрмита являются решением дифференциального уравнения:
H''n(x)-2zH'n(x)+2nHn(x)=0
На странице посвященной ортогональным многочленам представлены алгоритмы вычисления значения полиномов Эрмита в заданной точке x, а так же коэффициентов полиномов Эрмита.
Полиномы Лежандра Pn(x) - многочлены ортогональные на отрезке [-1,1] с единичной весовой функцией h(x)=1. Они определяются формулами:
и удовлетворяют рекурентному соотношению:
при этом P0(x)=1,P1(x)=x.
Функциональные ряды по многочленам Лежандра внутри отрезка [-1,1] аналогичны тригонометрическим рядам Фурье, есть теорема о равносходимости этих двух рядов.
На странице посвященной ортогональным многочленам представлены алгоритмы вычисления значения полиномов Лежандра в заданной точке x, а так же коэффициентов полиномов Лежандра.
Полиномы Чебышева-Лагерра Ln(x;a) это многочлены ортогональные на положительной полуоси с весовой функцией:
h(x)=xaexp(-xn+a), a > -1Cтандартизированные полиномы Лагерра определяются формулами:
и удовлетворяют рекурентному соотношению:
(n+1)Ln+1(x;a)=(a+2n+1-x)Ln(x;a)-(a+n)Ln-1(x;a)При этом L0(x)=1,L1(x)=1-x.
Многочлены Лагерра являются решением дифференциального уравнения (уравнения Лагерра):
xy''+(a-x+1)y'+ny=0.
На странице посвященной ортогональным многочленам представлены алгоритмы вычисления значения полиномов Лагерра в заданной точке x, а так же коэффициентов полиномов Лагерра.
Метод Кленшоу предназначен для нахождения суммы функционального ряда вида:
Sn(x)=a0(x)Ф1(x)+...+an(x)Фn(x)в котором функции Фn(x) связаны рекурентным соотношением:
Фk(x)-uk(x)Фk-1(x)-vk(x)Фk-2(x)=0В этом случае сумма ряда получается по формуле:
Sn(x)=(a0(x)+v2(x)b2(x))Ф0(x)+b1(x)Ф1(x)а функции bk(x) определяются последовательно при помощи формул:
bk(x)=uk+1(x)bk+1(x)+vk+2(x)bk+2(x)+ak(x), bn+1(x)=bn+2(x)=0
Например, в случае суммы с постоянными коэффициентами по полиномам Чебышева I-го рода:
Sn(x)=a0T1(x)+...+anTn(x)на основании рекуррентного соотношения имеем uk(x)=-2x, vk(x)=1, тогда
bk(x)=2xbk+1-bk+2-ak , bn+1=bn+2=0и Sn(x)=b0-xb1.
Аналогично для случаев других ортогональных многочленов. Поскольку, как мы указывали ранее, все системы ортогональных многочленов удовлетворяют некоторому рекуррентному соотношению 2-го порядка, метод Кленшоу можно применить для произвольной системы.
На странице посвященной ортогональным многочленам представлены алгоритмы вычисления сумм функциональных рядов по методу Кленшоу для рассмотренных нами систем ортогональных многочленов.
В заключении приведу сводную таблицу рассмотренных систем ортогональных многосленов.
| Название | Область задания | Весовая функция | uk(x) | vk(x) | W0(x) | W1(x) |
| Полиномы Чебышева I-го рода | [-1,1] | h(x)=(1-x2)-1/2 | -2x | 1 | 1 | x |
| Полиномы Чебышева II-го рода | [-1,1] | h(x)=(1-x2)1/2 | -2x | 1 | 0 | (1-x2)1/2 |
| Полиномы Эрмита | вся ось | h(x)=exp(-x2) | -2x | 2(k-1) | 1 | 2x |
| Полиномы Лежандра | [-1,1] | h(x)=1 | -(2k-1)x/k | (k-1)/k | 1 | x |
| Полиномы Лагерра | положительная полуось | h(x)=exp(-xn), | -(2k-1-x)/k | (k-1)/k | 1 | 1-x |
|
