...
...
– Один из учеников Канторовича рассказывал, что тот в полугодовых отчётах писал с каменным лицом: «Теорема доказана на 50%».
– В Москве, в Математическом институте, была чёткая система: в план я писал теоремы, которые были доказаны в прошлом году. И весь год можно было работать дальше. Но это всё мелочи. Пока, как я говорил, математика нас выбирает, и пока есть такие люди, как Перельман и Гротендик, мы будем помнить наш идеал.
– Да, гранты в математике – вещь своеобразная. Но, с другой стороны, если не гранты, то какой мог бы быть механизм?
– А что надо? Зарплата для человека и бюджет для института. Я, к счастью для меня, не только в Москве, но и пятнадцать лет в Бонне проработал на зарплате и бюджете и не вижу в этом ничего плохого. Другое дело, что те органы, которые выплачивают эти зарплаты и бюджеты, почему-то решают, что надо переходить на рыночную систему. Но рынок плох для трех вещей: медицины, образования и культуры. Математика есть часть культуры в широком смысле слова, а не промышленности или чего-то в этом роде.
– А нерыночные методы не приводят к стагнации, когда нет никакого развития?
– Но до сих пор же не было никакой стагнации.
– Для математики то, о чем Вы говорите, возможно, потому что математика – дешевая наука.
– Именно. Я всегда говорю: «Зачем нам лезть на рынок? Мы (а) ничего не стоим и (б) не загрязняем окружающую среду». Дайте нам зарплату и оставьте нас в покое. Я совершенно не хочу обобщать, я говорю только о математике.
– Вы упомянули про компьютеры. Что изменилось в математике с появлением компьютера?
– В чистой математике что изменилось? Появилась уникальная возможность делать физические эксперименты в ментальной реальности. Можно пробовать невероятные вещи.
Точнее, невероятные нельзя, а то, что можно, Эйлер умел делать и без компьютера. Гаусс тоже умел. Но теперь то, что умели Эйлер и Гаусс, может делать любой математик, сидя за своим письменным столом. И если у него не хватает воображения, чтобы различить какие-то контуры в этой платоновской реальности, он может поэкспериментировать. Ему пришла в голову хорошая мысль, что что-то равно чему-то, – он сядет и посчитает одно значение, другое, третье, миллионное. Более того, появились люди с математическим, но компьютерно-ориентированным умом. Точнее сказать, это люди, которые были и раньше, но без компьютера им чего-то не хватало. Опять, к ним относился Эйлер, в той мере, в какой он был только математиком – он был гораздо больше, чем только математиком, – но Эйлер как математик сейчас бы работал с компьютерами со страстью. Еще Рамануджан, человек, который даже и математики толком не знал. Или вот, например, мой коллега по институту Дон Загир (Don Zagier). У него совершенно математический ум, который идеально приспособлен для работы с компьютером, ему компьютер помогает исследовать вот эту платоновскую реальность, чрезвычайно эффективно при этом.
Я человек совершенно не такой, но я понимаю, что это, и был бы рад иметь сотрудника, который мне бы в этом помогал. Вот это то, что компьютеры сделали для чистой математики.
– А отношения математики и теоретической физики, как они устроены?
– На протяжении моей жизни они изменились.
Очень условно говоря, во времена Ньютона, Эйлера, Лагранжа, Гаусса взаимодействие было настолько тесное, что одни и те же люди занимались математикой и физикой. Они могли себя считать больше математиками или больше физиками, но это были одни и те же люди. Это продолжалось где-то до конца XIX века. ХХ век начал обнаруживать существенную разницу. Поразительный пример – это история общей теории относительности. Эйнштейн не просто не знал математики, он не знал даже, что уже существует именно та математика, которая была нужна ему, когда в 1907 году он начал понимать физику общей теории относительности на своем гениально интуитивном языке. После нескольких лет, посвященных квантам, он вернулся к гравитации и в 1912 году написал своему другу, математику Марселю Гроссману: «Ты должен помочь мне, а не то я с ума сойду!». Их первая статья называлась так: «Набросок общей теории относительности и теории гравитации. I. Физическая часть Альберта Эйнштейна. II. Матема-тическая часть Марселя Гроссмана».
Эта попытка была всё еще полуудача: найден правильный язык, но не правильные уравнения. К 1915 году уравнения были найдены, затем Гильберт выводит их из своего принципа действия – важность этой задачи, кажется, тоже ускользала от Эйнштейна… Увлекательная игра и сотрудничество великих интеллектов, вовлекшая историков в дурные споры о приоритете: сами главные герои были благородны и щедры на признание заслуг друг друга.
Эта история для меня знаменует начало периода, когда физика и математика разошлись. И дальше расхождение это продолжалось где-то до 50-х годов. Физики придумали квантовую механику, там попутно Гильбертовы пространства им понадобились, уравнения Шрёдингера, квант действия, принцип неопределенности, дельта-функция. Это совершенно новая физика и совершенно новая философия. Какой-то кусок математики нужен был – они его сделали.
А математики – были стандартные аналитики, геометры… Что было существенно в начале века – логики стали жать, это то, что потом превратилось в computer science. Теория множеств и парадоксы бесконечности. Парадокс конечного языка, из которого мы должны получать сведения о бесконечных сущностях, – возможно ли это? Непротиворечивость, полнота… Крупнейшие вещи были сделаны.
И появляется человек, Алан Тьюринг, который говорит: «Модель математического текста есть машина, а не текст». Машина! – гениально. Через десять лет – уже фон-неймановские машины и принцип отделения программ, software, от железа, hardware. Еще 20 лет – и всё готово.
За это время кроме отдельных умов – фон Нейман несомненно был и физиком, и математиком, другого человека такого масштаба в ХХ веке я не знаю – в первой трети века математика и физика развивались параллельно и через некоторое время перестали обращать друг на друга внимание. В 40-х годах Фейнман написал свой замечательный континуальный интеграл как новое средство квантования, проработав его потрясающе математически, – вообразите себе что-то вроде Эйфелевой башни, которая висит в воздухе, без фундамента с точки зрения математики. Вот она вся есть, она вся работает, а стоит она неизвестно на чем. Это продолжается и по сей день. И когда в 50-е годы появились связности в расслоении, и оказалось, что интеграл действия, из которого выводится уравнение для ядерных сил, грубо говоря, является давно известным из дифференциальной геометрии уравнением Янга–Миллса, тут математики начали коситься на физиков, а физики начали коситься на математиков. И оказалось парадоксальным и чрезвычайно для меня приятным образом, что мы стали учиться у физиков в большей степени, чем они у нас. Оказалось, что они с помощью квантовой теории поля и аппарата интеграла Фейнмана наработали мыслительные орудия, которые стали им позволять открывать один математический факт за другим. Не доказательства, а открытия.
А дальше математики сидят, чешут голову и какие-то из этих открытий формулируют в виде теорем и пытаются их доказать нашими честными средствами. Это показывает, что то, что делают физики, действительно математически осмысленно – и физики говорят: «Мы всегда это знали, но, конечно, спасибо за внимание». Но вообще в результате мы научились у физиков, что надо спрашивать и какие предполагаются ответы – как правило, они оказываются правильными.
Потом появляется Виттен, уникальное существо, человек-машина для производства великолепной математики из этой самой башни Эйфеля, висящей в воздухе. Я смотрел в Википедии: он кончал что-то неправдоподобное, то ли факультет журналистики, то ли юриспруденции, то ли еще что-то такое, потом занимался какой-то чепухой, а потом вдруг стал гениальным физиком. Причем таким физиком, что физики, связанные с экспериментом, жутко на него фырчат, косятся и прочее: не предсказал никакого спектра масс; все его предсказания относятся к моменту Большого взрыва, когда неизвестно, что было, и ничего измерить нельзя; все его универсальные законы работают в одиннадцатимерном пространстве; невероятное количество неизвестных параметров; и вообще – это не физика. Я в каком-то смысле даже и согласен. Это хозяин такого потрясающего ментального орудия, которое производит математику невероятной силы и мощи, но исходя из физической интуиции. Причем исходным материалом этой интуиции является не физический мир, а орудие, созданное Фейнманом, и разные его варианты и вариации – орудие вполне математическое, но не имеющее абсолютно никакого математического обоснования.
Такой потрясающий эвристический принцип, но не мелочишка какая-то, а, я же говорю, огромное строение, только без фундамента.
– А к этому уже все привыкли, что нет фундамента, и так и живут, или пытаются его построить?
– Все попытки, которые были, – они все не удавались. У математиков есть одно–два приближения к тому, что следовало бы называть фейнмановским интегралом, скажем, придуманное еще в 20-е годы винеровское интегрирование. Оно применялось к броуновскому движению, там есть строгая математическая теория. Есть еще вариантики, но это намного слабее, чем нужно, чтобы работал настоящий интеграл Фейнмана. Ну, маленькая математическая теория – по силе, по мощи это несравнимо с той машиной, которая сейчас производит настоящую великую математику. Я не знаю, что будет с этой машиной, когда перестанет работать Виттен, но я очень надеюсь, что раньше это проникнет в математическую среду. Появилась небольшая индустрия – доказывать теоремы, которые угадал Виттен, причем это очень знаменитые работы. Я, конечно, не сомневаюсь, что когда-нибудь мы сделаем этот интеграл математически чисто в каком-то смысле этого слова. Но это уже вторичная работа.
Такие вещи уже происходили. Никакого обоснования в старой математике не имела канторова теория бесконечностей. Можно спорить с ней как угодно, но это новая математика, новый способ думать о математике, новый способ производить математику. В конце концов, со спорами, с противоречиями, явочным порядком это было принято через Бурбаков.
– Похоже, на Бурбаков у математиков, пишущих на эти темы по-русски, есть разные точки зрения. Есть довольно жесткие критики и всех этих теоретико-множественных обоснований – причем как раз за отрыв от физики и тех замечательных возможностей, которые от физики происходят.
– Ничего тут такого особенного нет. То, что они ругают Бурбаки, означает, что они не знают, как сейчас такие вещи делаются. То, что делали Бурбаки, – это на самом деле уже пройденный исторический этап, точно так же, как сам Кантор. Но этап, сыгравший огромную роль, очень простую, – это было не обоснование математики, это была выработка единого языка математики, на котором могли разговаривать вероятностник, тополог, специалист по теории графов, логик. В одних и тех же элементарных словах, а потом уже они производили от них свои термины, которые лежат на втором, третьем, пятом этажах, но, собравшись вместе, они вполне могли договориться. «Язык – множество букв, плюс подмножество множества слов, плюс связки, плюс полный порядок – а, ну понятно, можно говорить дальше». Был такой общий язык, с точки зрения которого, например, теорема Гёделя о неполноте теряет всякую таинственность вообще. Она приобретает таинственность, когда ее начинаешь философски обрабатывать, а так – это просто теорема о том, что некая структура не имеет конечного числа образующих. Ах ты, Боже мой, да мы таких структур на фунт сушеных знаем, подумаешь, еще одна!.. Глубина появляется, когда мы приписываем этому определенную семантику, это уже философские обоснования математики. Поэтому Бурбаки делали совершенно не то, что думают эти ребята (я опускаю их влияние на систему математического образования Франции).
– Каков статус гипотезы в математике? Скажем, теорема Ферма – все последние годы уже никто не пытался найти контрпример: все понимали, что она правильная и надо пытаться ее доказать. И еще есть такие же знаменитые утверждения, в теории чисел их, наверное, много.
– Я тут занимаю позицию, разделяемую далеко не всеми, я слышал много споров со мной на эти темы. Я должен Вам объяснить, как я себе математику воображаю. Я эмоциональный платоник (не рациональный, никаких рациональных аргументов в пользу платонизма не существует). Для меня так или иначе математическая работа есть открытие, а не изобретение. Я воображаю себе какой-то замок или что-то там такое, и вот ты постепенно что-то в тумане видишь и начинаешь что-то исследовать. Как ты формулируешь то, что ты увидел, зависит и от типа твоего мышления, и от масштабов того, что ты увидел, и от социальной обстановки вокруг, и так далее.
Это может формулироваться как отсутствие или присутствие чего-то. Икс-квадрат плюс игрек-квадрат равно зет-квадрат. Замечательно, можно формулой написать все целочисленные решения – в каком-то смысле это было известно уже Диофанту. Когда ты это сделал, возникает вопрос: хорошо, а если куб? Ищешь-ищешь –- ничего нет. Хм, как странно. А четвертая если степень? Хм, опять ничего нет. А может, дальше вообще ничего нет? И ты открываешь разницу между степенью два и степенью три, четыре и так далее.
История теоремы Ферма – это вот такая история. Но когда так ставишь задачу, что что-то равно чему-то или что чего-то никогда не бывает, то никогда заранее не известно, хорошая это задача или плохая, – до тех пор, пока она не будет решена или почти решена.
У задач есть качество. В теории чисел очень много элементарно формулируемых задач, и мы знаем, что теорема Ферма была великолепной задачей. Но произошло это потому, что в ее истории, от постановки до решения, оказалось, что она завязана на множество вещей, априори между собой никак не связанных. И для ее решения понадобилось эти фундаментальные вещи развить. Она оказалась деталькой в огромном строении.
А возьмем другие задачи, скажем о совершенных числах или о простых близнецах. Бесконечно ли множество совершенных чисел, то есть таких, которые равны сумме своих делителей, или множество пар простых чисел, разность которых равна 2? До сих пор никто эти задачи ни в какую интересную теорию не включил, хотя по формулировке они ничем не хуже теоремы Ферма.
– А это свойство задачи или просто ими по каким-то социальным причинам не так активно занимались?
– Как платоник я знаю, что это свойство задачи, только это то свойство, которое в момент формулировки задачи ты никак не можешь узнать. Оно выясняется в процессе исторического развития.
...

Вот некоторые из них:

__Один взволнованный человек говорил мне, что надо всё уничтожить и всё сжечь. А потом всё построить заново.
— Как, — спросил я, — и дома все сжечь?
— Конечно, и дома.
— А где же вы будете жить, пока построят новые?
— В земле, — ответил он без запинки.

Странно тоже, что в бунте бунтующие были враждебны ко всему, а особенно к хозяину, купцу, барину, и в то же время сами тут же торговали и хотели походить на хозяина, купца и одеться барином.

Один коммунист, Иван из совхоза, увидел у меня маленькую коробочку жестяную из-под кнопок. Она была покрыта жёлтым лаком, блестела. Он взял её в руки и сказал:
— А все вы и посейчас лучше нашего живёте.
— Но почему? — спросил я. — Ты видишь, Иван, я тоже овёс ем толчёный, как лошадь. Ни соли, ни сахару нет. Чем же лучше?
— Да вот, вишь, у вас коробочка-то какая.
— Хочешь, возьми, я тебе подарю.
Он, ничего не говоря, схватил коробочку и понёс показывать жене.

Во время так называемой революции собаки бегали по улицам одиноко. Они не подходили к людям, как бы совершенно отчуждавшись от них. Они имели вид потерянных и грустных существ. Они даже не оглядывались на свист: не верили больше людям. А также улетели из Москвы все голуби.

Были дома с балконами. Ужасно не нравилось проходящим, если кто-нибудь выходил на балкон. Поглядывали, останавливались и ругались. Не нравилось. Но мне один знакомый сказал:
— Да, балконы не нравятся. Это ничего — выйти, ещё не так сердятся. А вот что совершенно невозможно: выйти на балкон, взять стакан чаю, сесть и начать пить. Этого никто выдержать не может. Летят камни, убьют.

Учительницы сельской школы под Москвой, в Листвянах, взяли себе мебель и постели из дачи, принадлежавшей профессору Московского университета. Когда тот заспорил и получил мандат на возвращение мебели, то учительницы визжали от злости. Кричали: «Мы ведь народные учительницы, на кой нам чёрт эти профессора! Они буржуи!».

Я спросил одного умного комиссара: «А кто такой буржуй, по-вашему?» Он ответил: «Кто чисто одет».

Деревня Тюбилки взяла ночью всё сено у деревни Горки. В Тюбилке сто двадцать мужиков, а в Горках тридцать.
Я говорю Дарье, которая из Тюбилок, и муж её солидный, бывший солдат:
— Что же это вы делаете? Ведь теперь без сена к осени весь скот падёт не емши в Горках.
— Вестимо, падёт, — отвечает она.
— Да как же вы это? Неужто и муж твой брал?
— А чего ж, все берут.
— Так как же, ведь вы же соседи, такие же крестьяне. Ведь и дети там помрут. Как же жить так?
— Чего ж… Вестимо, все помрут.
Я растерялся, не знал, что и сказать:
— Ведь это же нехорошо, пойми, Дарья.
— Чего хорошего. Что уж тут… — отвечает она.
— Так зачем же вы так?
— Ну, на вот, поди… Все так.

Что бы кто ни говорил, а говорили очень много, нельзя было сказать никому, что то, что он говорит, неверно. Сказать этого было нельзя. Надо было говорить: «Да, верно». Говорить «нет» было нельзя — смерть. И эти люди через каждое слово говорили: «Свобода». Как странно.

Один латыш, бывший садовник-агроном Штюрме, был комиссар в Переяславле. Говорил мне:
— На днях я на одной мельнице нашел сорок тысяч денег у мельника.
— Где нашли? — спросил я.
— В сундуке у него. Подумайте, какой жулик. Эксплуататор. Я у него деньги, конечно, реквизировал и купил себе мотоциклетку. Деньги народные ведь.
— Что же вы их не отдали тем, кого он эксплуатировал? — сказал я. Он удивился:
— Где же их найдёшь. И кому отдашь? Это нельзя… запрещено… Это будет развращение народных масс. За это мы расстреливаем.

Больше всего любили делать обыски. Хорошее дело, и украсть можно кое-что при обыске. Вид был у всех важный, деловой, серьёзный. Но если находили съестное, то тотчас же ели и уже добрее говорили:
— Нельзя же, товарищ, сверх нормы продукт держать. Понимать надо. Жрать любите боле других.
При обыске у моего знакомого нашли бутылку водки. Её схватили и кричали на него: «За это, товарищ, к стенке поставим». И тут же стали её распивать. Но оказалась в бутылке вода. Какая разразилась брань… Власти так озлились, что арестовали знакомого и увезли. Он долго просидел.

Коммунисты в доме Троцкого получали много пищевых продуктов: ветчину, рыбу, икру, сахар, конфеты, шоколад. Зернистую икру они ели деревянными ложками по килограмму и больше каждый. Говорили при этом:
— Эти сволочи, буржуи, любят икру.

Весь русский бунт был против власти, людей распоряжающихся, начальствующих, но бунтующие люди были полны любоначалия: такого начальствующего тона, такой надменности я никогда не слыхал и не видал в другое время. Это было какое-то сладострастие начальствовать и только начальствовать.

Тенор Собинов, всегда протестовавший против директора Императорских театров Теляковского, сам сделался директором Большого оперного театра. Сейчас же заказал мне писать с него портрет в серьёзной позе. Портрет взял себе, не заплатив мне ничего. Ясно, что я подчинённый и должен работать для директора. Просто и правильно.

Ехал в вагоне сапожник и говорил соседям:
— Теперь сапожки-то, чего стоят. Принеси мне триста тысяч, да в ногах у меня поваляйся — сошью, а то и нет. Во как нынче!

На рынке в углу Сухаревой площади лежала огромная куча книг, и их продавал какой-то солдат. Стоял парень и смотрел на кучу книг. Солдат:
— Купи вот Пушкина.
— А чего это?
— Сочинитель первый сорт!
— А чего, а косить он умел?
— Нет… Чего косить… Сочинитель.
— Так на кой он мне ляд?!
— А вот тебе Толстой. Этот, брат, пахал, косил, чего хочешь.
Парень купил три книги и, отойдя, вырвал лист для раскурки.

Староста-ученик, крестьянин, говорил на собрании:
— Вот мастер придёт в мастерскую, говорит всё, что хочет, и уйдёт, а жалованье получает. А что из этого? Положите мне жалованье, я тоже буду говорить, ещё больше его.
Ученики ему аплодировали, мастера молчали.

В Школу живописи в Москве вошли новые профессора и постановили: отменить прежнее название. Преподавателей называть мастерами, а учеников подмастерьями, чтобы больше было похоже на завод или фабрику. Самые новые преподаватели оделись, как мастера, надели чёрные картузы, жилеты, застёгнутые пуговицами до горла, как у разносчиков, штаны убрали в высокие сапоги, всё новое. Действительно, были похожи на каких-то заводских мастеров.

Я увидел, как профессор Машков доставал носовой платок. Говорю ему:
— Это не годится. Нужно сморкаться в руку наотмашь, а платки — это уж надо оставить.
Он свирепо посмотрел на меня.

Был жетон: «Да укрепится свобода и справедливость на Руси».

Я получил бланк. Бланк этот был напечатан после долгих и многих обсуждений Всерабиса (Всесоюзный профессиональный союз работников искусств). В графах бланка значилось:
Размер.
Какой материал.
Холст, краски, стоимость его.
Время потраченного труда.
Подпись автора.
Цена произведения определялась отделом Всерабиса.

В Школе живописи -- мастера и подмастерья. Всё было хорошо, но с подмастерьем было трудно. Их работу надо было расценивать. Трудно было вводить справедливость. Трудно. Кто сюпрематист, кто кубист, экс-импрессионист, футурист — трудно распределить. Что всё это стоит, по аршину или как ценить? Да ещё на стене написано: «Кто не работает, тот не ест». А есть вообще нечего было. А справедливость надо вводить.

У Всерабиса и мастеров "ум раскорячивался", как они говорили. Заседания и денные, и ночные. Постановления одни вышибали другие. Трудно было: один предлагал то, а другой совсем другое. И притом жрать хочется до смерти. Вот как трудно вводить справедливость и равенство. Все ходили измученные, бледные, отрёпанные, неумытые, голодные. Но всё же горели энергией водворить так реформы, чтобы было как можно справедливее.
И их души не догадывались, что главная потуга их энергии — это было не дать другим того, что они сами не имеют. Как успокоить бушующую в себе зависть? А так как она открылась во всех, как прорвавшийся водопад, то в этом сумасшедшем доме нельзя было разобрать с часу на час и с минуты на минуту, что будет и какое постановление справедливости вынесут судьи.

Странно было видеть людей, охваченных страстью власти и низостью зависти, и при этом уверенно думающих, что они водворяют благо и справедливость.